【題目】如圖：在三棱錐中，，是直角三角形，，

，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的大��；

（3）求二面角的正切值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

試題以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo).（1）計(jì)算，可得兩直線垂直；（2）計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量，可求得線面角的余弦值，用反三角函數(shù)表示出這個(gè)角的大小；（3）分別求出平面，平面的法向量，利用法向量求兩個(gè)平面所成角的余弦值，然后轉(zhuǎn)化為正切值.

試題解析：

解法一（1）連接。在中，.

，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴.

又，即為在平面內(nèi)的射影，∴.

分別為的中點(diǎn)，

∴，

∴.

（2），∴.

連結(jié)交于點(diǎn)，，∴，

∴為直線與平面所成的角，.

，∴，又，

∴.，∴，

∴在中，，∴，

即直線與平面所成角的大小為.

（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，，

∴，即為在平面內(nèi)的射影，

，∴為二面角的平面角.

∴中，，

∴，即二面角的正切值為.

解法二 建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

則.

（1）∴，

∴，

∴.

（2）由已知可得，為平面的法向量，，

∴，

∴直線與面所成角的正弦值為.

∴直線與面所成角的為.

（3）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

∴，

∴，令，

∴.

由已知可得，向量為平面的一個(gè)法向量，

∴，

∴.

∴二面角的正切值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽，在處按方向釋放機(jī)器人甲，同時(shí)在處按某方向釋放機(jī)器人乙，設(shè)機(jī)器人乙在處成功攔截機(jī)器人甲，若點(diǎn)在矩形區(qū)城內(nèi)(包含邊界)，則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗，已知米，為中點(diǎn)，機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍，比賽中兩機(jī)器人均按勻速直線遠(yuǎn)動(dòng)方式行進(jìn).

（1）如圖建系，求的軌跡方程；

（2）記與的夾角為，，如何設(shè)計(jì)的長(zhǎng)度，才能確保無(wú)論的值為多少，總可以通過(guò)設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使之挑戰(zhàn)成功？

（3）若與的夾角為，足夠長(zhǎng)，則如何設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度，才能挑戰(zhàn)成功？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】類似于平面直角坐標(biāo)系，我們可以定義平面斜坐標(biāo)系：設(shè)數(shù)軸的交點(diǎn)為，與軸正方向同向的單位向量分別是，且與的夾角為，其中。由平面向量基本定理，對(duì)于平面內(nèi)的向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，把叫做點(diǎn)在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，也叫做向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。在平面斜坐標(biāo)系內(nèi)，直線的方向向量、法向量、點(diǎn)方向式方程、一般式方程等概念與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)相應(yīng)概念以相同方式定義，如時(shí)，方程表示斜坐標(biāo)系內(nèi)一條過(guò)點(diǎn)(2,1)，且方向向量為(4,-5)的直線。

（1）若， ，且與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）若，已知點(diǎn)和直線 ①求l的一個(gè)法向量；②求點(diǎn)A到直線l的距離。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】拋擲兩顆骰子，計(jì)算：

（1）事件“兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相同”的概率；

（2）事件“點(diǎn)數(shù)之和小于7”的概率；

（3）事件“點(diǎn)數(shù)之和等于或大于11”的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在測(cè)量一根新彈簧的勁度系數(shù)時(shí)，測(cè)得了如下的結(jié)果：

所掛重量（）（x）

1

2

3

5

7

9

彈簧長(zhǎng)度（）（y）

11

12

12

13

14

16

（1）請(qǐng)?jiān)谙聢D坐標(biāo)系中畫(huà)出上表所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）若彈簧長(zhǎng)度與所掛物體重量之間的關(guān)系具有線性相關(guān)性，請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

（3）根據(jù)回歸方程，求掛重量為的物體時(shí)彈簧的長(zhǎng)度.所求得的長(zhǎng)度是彈簧的實(shí)際長(zhǎng)度嗎？為什么？

注：本題中的計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位.

（參考公式：，）

（參考數(shù)據(jù)：，）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＋b＋c＝8.

(1)若a＝2，b＝，求cosC的值；

(2)若sinAcos2＋sinB·cos2＝2sinC，且△ABC的面積S＝sinC，求a和b的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷的奇偶性，并證明；

（2）用定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞減；

（3）若，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長(zhǎng)為2，寬為1， ， 邊分別在軸、軸的正半軸上， 點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，將矩形折疊，使點(diǎn)落在線段上，設(shè)此點(diǎn)為.

（1）若折痕的斜率為-1，求折痕所在的直線的方程；

（2）若折痕所在直線的斜率為，（ 為常數(shù)），試用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，并求折痕所在的直線的方程；

（3）當(dāng)時(shí)，求折痕長(zhǎng)的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知四棱錐中，底面為矩形，且，，若平面，，分別是線段，的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，確定點(diǎn)的位置：若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若與平面所成的角為45°，求二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案