Question

（本小題滿分12分）
設函數(shù).
⑴ 當時,求函數(shù)在點處的切線方程；
⑵ 對任意的函數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）

本試題主要是考查了導數(shù)的幾何意義的運用和利用導數(shù)證明不等式的恒成立問題的綜合運用問題。
（1）首先求解函數(shù)解析式，然后求導，得到導數(shù)，代入點的坐標，得到切線方程。
（2）根據(jù)對任意的函數(shù)恒成立，只要研究函數(shù)f(x)在給定區(qū)間的最小值大于等于零即可。需要對參數(shù)a分類討論，得到最值。
解：（1）當時,
由，則                      ---------3分
函數(shù)在點處的切線方程 為                         
即                                               ---------4分
(2)                   ---------5分
易知，，則
當即時，由得恒成立，
在上單調(diào)遞增， 符合題意。所以 ---------7分
當時，由得恒成立，在上單調(diào)遞減，
顯然不成立，舍去。                         ---------8分
當時，由，得即
則
因為，所以。時，恒成立，
在上單調(diào)遞減，顯然不成立，舍去。---------11分
綜上可得:                                           --------------12分