Question

設函數f（x）=e^x-e^-x．
（1）證明：f（x）的導數f′（x）≥2；
（2）若對所有x≥0都有 f（x²-1）＜e-e^-1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=e^x₊e^-x．由基本不等式易證．
（2）由（1）f′（x）≥2＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，不等式轉化為x²-1＜1求解即可．

解答：解：（1）f′（x）=e^x₊e^-x．由基本不等式得e^x₊e^-x≥2

ex•e-x

=2，故f′（x）≥2，當且僅當x=0時，等號成立．
（2）由（1）f′（x）≥2＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，f（x²-1）＜e-e^-1，即為 f（x²-1）＜f（1），
所以x²-1＜1，又x≥0，解得x的取值范圍為[0，

2

）

點評：本題考查函數的導數計算及函數的單調性的應用，考查轉化計算能力．