兩條直線分別被三個(gè)互相平行的平面所截,求證:被截得的線段成比例.如圖,已知平面α∥β∥γ,直線a分別交α、β、γ于A、B、C,直線b分別交α、β、γ于D、E、F.
求證:AB∶DE=BC∶EF.
解:當(dāng)a、b共面時(shí),如上圖(1),設(shè)a、b確定的平面為δ, 則AD、BE、CF分別為α、β、γ與δ的交線. 由α∥β∥γ,知AD∥BE∥CF. 由平行截割定理,知AB∶DE=BC∶EF(當(dāng)AD、BE、CF中有一條變成一點(diǎn)時(shí),也不影響結(jié)果). 當(dāng)a、b異面時(shí),如上圖(2),過(guò)A作直線c∥b,分別交β、γ于B1、C1. 由α∥β,知AB1=DE. 同理B1C1=EF. 設(shè)a、c確定的平面為δ,則BB1、CC1分別是δ與β、γ的交線. 由β∥γ,知BB1∥CC1. 由平行截割定理,知AB∶AB1=BC∶B1C1. 已知AB1=DE,B1C1=EF,故AB∶DE=BC∶EF. 方法歸納:空間問(wèn)題應(yīng)轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決,線段成比例一般考慮平行截割定理.此題也可以連結(jié)AF,交平面β于M,將其轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決. |
本命題是由平行截割定理擴(kuò)展來(lái)的,因此想到轉(zhuǎn)化為平行截割定理去證.由條件知三個(gè)平面互相平行,但原題中沒(méi)有平面與它們相交,需作出與它們相交的平面.被截的兩直線可能異面,也可能共面,所以需分類討論. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知a、b是不重合的兩條直線,α、β,γ是三個(gè)兩兩不重合的平面,給出下列四個(gè)命題:
①若a⊥α,a⊥β,則α∥β;
②若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β;
③若α∥β,, ,則a∥b;
④若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,則a∥b.
其中正確的是( )
A.①② B.①③ C.③④ D.①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
、、是三個(gè)平面,a、b 是兩條直線,有下列三個(gè)條件:
①a ∥,b⊂ ②a ∥,b∥ ③b∥,a⊂.如果命題“∩=a, b⊂,且 ________ , 則 a∥b”為真命題, 則可以在橫線處填入的條件是 ( )
(A)①或② (B)②或③ (C)①或③ (D)②
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