兩條直線分別被三個(gè)互相平行的平面所截,求證:被截得的線段成比例.如圖,已知平面α∥β∥γ,直線a分別交α、β、γ于A、B、C,直線b分別交α、β、γ于D、E、F.

求證:AB∶DE=BC∶EF.

答案:
解析:

  解:當(dāng)a、b共面時(shí),如上圖(1),設(shè)a、b確定的平面為δ,

  則AD、BE、CF分別為α、β、γ與δ的交線.

  由α∥β∥γ,知AD∥BE∥CF.

  由平行截割定理,知AB∶DE=BC∶EF(當(dāng)AD、BE、CF中有一條變成一點(diǎn)時(shí),也不影響結(jié)果).

  當(dāng)a、b異面時(shí),如上圖(2),過(guò)A作直線c∥b,分別交β、γ于B1、C1

  由α∥β,知AB1=DE.

  同理B1C1=EF.

  設(shè)a、c確定的平面為δ,則BB1、CC1分別是δ與β、γ的交線.

  由β∥γ,知BB1∥CC1

  由平行截割定理,知AB∶AB1=BC∶B1C1

  已知AB1=DE,B1C1=EF,故AB∶DE=BC∶EF.

  方法歸納:空間問(wèn)題應(yīng)轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決,線段成比例一般考慮平行截割定理.此題也可以連結(jié)AF,交平面β于M,將其轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決.


提示:

本命題是由平行截割定理擴(kuò)展來(lái)的,因此想到轉(zhuǎn)化為平行截割定理去證.由條件知三個(gè)平面互相平行,但原題中沒(méi)有平面與它們相交,需作出與它們相交的平面.被截的兩直線可能異面,也可能共面,所以需分類討論.


練習(xí)冊(cè)系列答案
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矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(2,1),C(2,-1),D(-2,-1),過(guò)原點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與矩形的邊相交于E、F、G、H四點(diǎn),則四邊形EGFH的面積的最小值為
 
,最大值為
 

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給出下列四個(gè)命題:①過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行;
②過(guò)直線外一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面與已知直線平行;
③如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線分別平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行;
④如果兩個(gè)平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,則它們的交線平行.   其中正確的是( 。

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①若aα,aβ,則αβ;

②若αγ,βγ,則αβ;

③若αβ,,  ,則ab;

④若αβ,αγ=a,βγ=b,則ab.

其中正確的是(  )

A.①②           B.①③           C.③④           D.①④

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、、是三個(gè)平面,a、b 是兩條直線,有下列三個(gè)條件:

①a ∥,b⊂     ②a ∥,b∥  ③b∥,a⊂.如果命題“=a, b⊂,且 ________ , 則 a∥b”為真命題, 則可以在橫線處填入的條件是                (    )

(A)①或②            (B)②或③             (C)①或③            (D)②

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