如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面四邊形BCDE是等腰梯形，BC∥DE, =45 ,O是BC的中點(diǎn)，AO= ,且BC=6，AD=AE=2CD=2 ，

(1)證明：AO⊥平面BCD；(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.

（1）證明詳見解析；（2） 

解析試題分析：（1）根據(jù)勾股定理證，即，再證，直線與平面垂直的判定定理即可得證明；

（2）過O點(diǎn)作交CD的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)已知可證二面角A-CD-B的平面角，然后通過解三角形即可求得.
試題解析：（1）易得OC=3，AD=2,連結(jié)OD，OE，在∆OCD中，
由余弦定理可得OD= =.
∵AD=2,∴,∴,
同理可證：,又∵,平面BCD , 平面BCD ,∴AO⊥平面BCD；
（2）方法一：過O點(diǎn)作交CD的延長(zhǎng)線于H，連結(jié)AH，因?yàn)锳O⊥平面BCD,所以,故為二面角A-CD-B的平面角.
因?yàn)镺C=3， =45，所以O(shè)H= ,從而tan=.

方法二：以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖所示.則A(0，0， ),C(0，-3，0),D(1，-2，0),
所以=(0，3，),=(-1，2，).
設(shè)為平面ACD的一個(gè)法向量，則 ,
即 解得 ，令x=1，得.
由（1）知，為平面CDB的一個(gè)法向量，所以cos< >==,
由A-CD-B為銳二面角，所以二面角A-CD-B的平面角的正切值為 .
考點(diǎn)：1. 直線與平面垂直的判定定理；2.直線與平面垂直的性質(zhì)以及直線與平面所成的角.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，、分別是、的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若與平面所成角為，且，求點(diǎn)到平面的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝2(1)PD.

(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角D—PQ—C的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

四棱錐中,⊥底面,,,.

(Ⅰ)求證:⊥平面;
(Ⅱ)若側(cè)棱上的點(diǎn)滿足,求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）若，求與平面所成的角的大小.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E為PB上的點(diǎn)，且2BE=EP.

(1）證明：AC⊥DE;
（2）若PC＝BC，求二面角E－AC一P的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知直角梯形，是邊上的中點(diǎn)（如圖甲），，，，將沿折到的位置，使,點(diǎn)在上，且（如圖乙）

（Ⅰ）求證：平面ABCD.
（Ⅱ）求二面角E?AC?D的余弦值

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，平面底面．

（I） 證明：平面；
（II）求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，曲線在處的切線過點(diǎn).
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案