Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD對角線的交點．求證：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）A₁C⊥面AB₁D₁；
（3）平面AB₁D₁∥平面C₁BD．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁連結(jié)AO₁，由已知得A₁ACC₁是平行四邊形，AOC₁O₁是平行四邊形，由此能證明C₁O∥面AB₁D₁．
（2）由已知得CC₁⊥B₁D₁，A₁C⊥B₁D₁，A₁C⊥AB₁，由此能證明A₁C⊥面AB₁D₁．
（3）由已知得AB₁∥DC₁，AD₁∥BC₁，由此能證明平面AB₁D₁∥平面C₁BD．

解答： 證明：（1）連結(jié)A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁
連結(jié)AO₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴A₁ACC₁是平行四邊形，
∴A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC，
又O₁，O分別是A₁C₁，AC的中點，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO，
∴AOC₁O₁是平行四邊形，
∴C₁O∥AO₁，AO₁?面AB₁D₁，C₁O?面AB₁D₁，
∴C₁O∥面AB₁D₁．
（2）∵CC₁⊥面A₁B₁C₁D₁，∴CC₁⊥B₁D₁，
又∵A₁C₁⊥B₁D₁，∴B₁D₁⊥面A₁C₁C即A₁C⊥B₁D₁，
同理可證A₁C⊥AB₁，
又D₁B₁∩AB₁=B₁，∴A₁C⊥面AB₁D₁．
（3）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴AB₁∥DC₁，AD₁∥BC₁，
又AB₁∩AD₁=A，AB₁∥DC₁，
AD₁?平面AB₁D₁，AB₁?平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁∥平面C₁BD．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線直線垂直的證明，考查平面與平面平行的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．