Question

設函數(shù)f（θ）=

3

sinθ+cosθ，其中θ的頂點與坐標原點重合，始終與x軸非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P（x，y）且0≤θ≤π．
（1）若點P的坐標為(

1

2

，

3

2

)，則f（θ）的值為

 

（2）若點P（x，y）為平面區(qū)域Ω：

x+y≥1 x≤1 y≤1

內的一個動點，記f（θ）的最大值為M，最小值m，則log_Mm=

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),任意角的三角函數(shù)的定義,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：首先由兩角和的正弦公式，化簡f（θ）．
（1）由P的坐標為(

1

2

，

3

2

)，則θ=

π

3

，代入，即可得到；
（2）畫出平面區(qū)域Ω，由圖象得到0≤θ≤

π

2

，即有

π

6

≤θ+

π

6

≤

2π

3

，再由正弦函數(shù)的性質即可得到最值．

解答： 解：f（θ）=

3

sinθ+cosθ=2（

3

2

sinθ+

1

2

cosθ）=2sin（θ+

π

6

）．
（1）由P的坐標為(

1

2

，

3

2

)，則θ=

π

3

，f（θ）=2sin（

π

3

+

π

6

）=2sin

π

2

=2；
（2）平面區(qū)域Ω：

x+y≥1 x≤1 y≤1

如圖：
則P位于點（0，1）處，θ最大，位于點（1，0）處最小，即0≤θ≤

π

2

，
即有

π

6

≤θ+

π

6

≤

2π

3

，
則f（θ）的最大值為M=f（

π

3

）=2，最小值為m=f（0）=1，
則log_Mm=log₂1=0．
故答案為：2，0．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查不等式組表示的平面區(qū)域，考查正弦函數(shù)的性質，屬于中檔題．