Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2處取得極值．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=2x3+3ax2+3bx+8，

∴f′（x）=6x2+6ax+3b，

∵f（x）在x=1及x=2處取得極值，

∴ ，

解得a=﹣3，b=4

（2）解：∵a=﹣3，b=4，

∴f′（x）=6x2﹣18x+12，

由f′（x）=6x2﹣18x+12＞0，得x＞2，或x＜1；

由f′（x）=6x2﹣18x+12＜0，得1＜x＜2．

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，1），（2，+∞），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（1，2）

【解析】（1）由函數(shù)f（x）=2x3+3ax2+3bx+8，知f′（x）=6x2+6ax+3b，再由f（x）在x=1及x=2處取得極值，能求出a、b的值．（2）由（1）知f′（x）=6x2﹣18x+12，由f′（x）=6x2﹣18x+12＞0，得x＞2，或x＜1；由f′（x）=6x2﹣18x+12＜0，得1＜x＜2．由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況才能得出正確答案．