8.設(shè)矩陣A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}]$,求矩陣A的逆矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量.

分析 由矩陣A,求得丨A丨及A*,A-1=$\frac{1}{丨A丨}$×A*,求得A-1,由特征多項(xiàng)式f(λ)=0,求得矩陣的特征值,代入求得特征向量.

解答 解:丨A丨=$|\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{1}\end{array}|$=1-4=-3,A*=$[\begin{array}{l}{1}&{-2}\\{-2}&{1}\end{array}]$,
A的逆矩陣為A-1=$\frac{1}{丨A丨}$×A*=$[\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}\end{array}]$,
則特征多項(xiàng)式為f(λ)=(λ+$\frac{1}{3}$)2-$\frac{4}{9}$=λ2+$\frac{2}{3}$λ-$\frac{1}{3}$,
令f(λ)=0,解得:λ1=-1,λ2=$\frac{1}{3}$,
設(shè)特征向量為$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$,則$[\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}}\\{\frac{2}{3}}&{-\frac{1}{3}}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=-$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$,
可知特征值λ1=-1,對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$,
同理可得特征值λ2=$\frac{1}{3}$,對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$.…(10分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查求矩陣特征值及特征向量,考查逆矩陣的求法,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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