Question

5．經(jīng)過點A（1，0）的動直線交拋物線y²=8x于M、N兩點，求動弦MN中點的軌跡．

Answer 1

分析 設(shè)MN的斜率為k，得出直線MN方程，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出MN的中點坐標(biāo)與k的關(guān)系，消參數(shù)得出中點方程．

解答 解：設(shè)過A點的直線方程為y=k（x-1），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，消元得y²-$\frac{8y}{k}$-8=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{8}{k}$，y₁y₂=8．
∴x₁+x₂=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{k}+2$=$\frac{8}{{k}^{2}}$+2．
設(shè)MN的中點坐標(biāo)為（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{2x=\frac{8}{{k}^{2}}+2}\\{2y=\frac{8}{k}}\end{array}\right.$，消元得x=$\frac{{y}^{2}}{4}+1$，即y²=4（x-1）．

點評 本題考查了直線與拋物線的關(guān)系，中點坐標(biāo)公式，屬于中檔題．