Question

過雙曲線C：的右頂點(diǎn)A作兩條斜率分別為k₁、k₂的直線AM、AN交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，其k₁、k₂滿足關(guān)系式k_1•k₂=-m²且k₁+k₂≠0，k₁＞k₂
（1）求直線MN的斜率；
（2）當(dāng)m²=時(shí)，若∠MAN=60°，求直線MA、NA的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知的雙曲線方程及雙曲線的性質(zhì)可以求得A點(diǎn)坐標(biāo)，由于已知過A作兩條斜率分別為k₁、k₂的直線AM、AN交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，把直線MA的方程與雙曲線的方程進(jìn)行聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及x_A=1，又k₁k₂=-m²可以M，N點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式，進(jìn)而求解；
（2）由于∠MAN=60°，利用到角的定義可以知道AM到AN的角為60°或AN到AM的角為60°，進(jìn)而得到兩直線的斜率的關(guān)系等式，結(jié)合已知的兩斜率的關(guān)系等式，聯(lián)立解處斜率的數(shù)值，再利用直線的方程即可求得直線的方程．
解答：解：（1）C：的右頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0）
設(shè)MA直線方程為y=k₁（x-1），代入m²x²-y²-m²=0中，整理得（m²-k₁）x²+2k₁²x-（k₁²+m²）=0）
由韋達(dá)定理可知，而x_A=1，又k₁k₂=-m²
∴
于是
由同理可知，于是有y_m=y_n
∴MN∥x抽，從而MN直線率k_MN=0．
（2）∵∠MAN=60°，說明AM到AN的角為60°或AN到AM的角為60°．
則或，
又，k₁＞k₂
從而
則求得或
因此MA，NA的直線的方程為y=x-1，
或?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183001055036821/SYS201310241830010550368019_DA/12.png">，y=-（x-1）．
點(diǎn)評：（1）此問考查了雙曲線的右定點(diǎn)的定義，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立后根與系數(shù)的關(guān)系，還考查了直線的斜率公式；
（2）此問考查了到角的定義及到角的公式，還考查了方程的思想，直線的點(diǎn)斜式求出直線的方程．