Question

10．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，關(guān)于數(shù)列{a_n}有下列四個(gè)結(jié)論：
①若數(shù)列{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則S_n=na₁；
②若S_n=2^n-1，則數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
③若S_n=an²+bn（a，b∈R），則數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
④若S_n=an（a∈R），則數(shù)列{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③．

Answer 1

分析 ①若{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則數(shù)列為非0常數(shù)列，即a_n=a₁，即可判斷出正誤．
②由S_n=2^n-1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2^n-2，而a₁=1不適合上式，即可判斷出正誤．
③{a_n}是等差數(shù)列時(shí)，S_n=$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$=$\fracmscoam4{2}{n}^{2}$+n$（{a}_{1}-\fracouesiu0{2}）$，即可判斷出正誤．
④若S_n=an，可得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=a，n=1時(shí)，a₁=S₁=a．對(duì)a與0 的關(guān)系分類(lèi)討論即可判斷出正誤．

解答 解：①若{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則數(shù)列為非0常數(shù)列，即a_n=a₁，則S_n=na₁成立，因此正確．
②∵S_n=2^n-1，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1-2^n-2=2^n-2，而a₁=1不適合上式，所以{a_n}不是等比數(shù)列，因此不正確．
③∵{a_n}是等差數(shù)列時(shí)，S_n=$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$=$\fracq4gui4o{2}{n}^{2}$+n$（{a}_{1}-\fracuymwkym{2}）$符合S_n=an²+bn（a，b∈R）的形式，故③成立．
④若S_n=an，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=a，n=1時(shí)，a₁=S₁=a．∴a=0時(shí)，a_n=0，數(shù)列{a_n}僅是等差數(shù)列；a≠0時(shí)，
數(shù)列{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，因此不正確．
故只有①③為真命題．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列的遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．