Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，a₂=9，且a₁a₃=65．數(shù)列前n項和S_n滿足2S_n=3ⁿ⁺¹-3（n∈Nⁿ）
（I）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（II）設c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n）的前n項和T_n
（III）設，若d_2k+1＞d_2k對k∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵a₂=9，a₁a₃=65，∴（9-d）（9+d）=65，∴d=±4
∵d＞0，∴d=4，∴a₁=5，∴a_n=4n+1；
∵2S_n=3ⁿ⁺¹-3，∴n≥2時，b_n=S_n+1-S_n=3ⁿ
又n=1時，b₁=3，∴b_n=3ⁿ；
（II）c_n=a_nb_n=（4n+1）•3ⁿ
∴T_n=5×3+9×3²+…+（4n+1）•3ⁿ①
∴3T_n=5×3²+9×3³+…+（4n-3）•3ⁿ+（4n+1）•3ⁿ⁺¹②
②-①整理可得2T_n=-15-4×3²-4×3³-…-4•3ⁿ+（4n+1）•3ⁿ⁺¹=4+（4n-1）•3ⁿ⁺¹
∴T_n=
（III）∵，d_2k+1＞d_2k對k∈N^*恒成立，
∴3^2k+1+（-1）^2k（2^2k+2+2）λ＞3^2k+（-1）^2k-1（2^2k+1+2）λ
∴對k∈N^*恒成立，
令f（k）=，則f（k+1）-f（k）==＜0
∴函數(shù)是減函數(shù)，∴k=1時，f（k）_max=-
∴λ＞．
分析：（I）利用a₂=9，a₁a₃=65可求數(shù)列{a_n}的通項公式；利用2S_n=3ⁿ⁺¹-3，再寫一式，兩式相減，可求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（II）利用錯位相減法，可求數(shù)列{c_n）的前n項和T_n；
（III），d_2k+1＞d_2k對k∈N^*恒成立，等價于對k∈N^*恒成立，求出右邊的最大值，即可求λ的取值范圍．
點評：本題考查數(shù)列的通項，考查錯位相減法，考查恒成立問題，分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值是關鍵．