Question

(本小題滿分12分)

已知圓C₁的方程為(x－2)²+(y－1)²=，橢圓C₂的方程為，C₂的離心率為，如果C₁與C₂相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C₁的直徑，試求：

（1）直線AB的方程；（2）橢圓C₂的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）y= －x+3；（2）+=1。

【解析】

試題分析：（1）由e=，得=，a²=2c²,b²=c²。

設(shè)橢圓方程為+=1。又設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)。由圓心為(2,1)，得x₁+x₂=4,y₁+y₂=2。

又+=1，+=1，兩式相減，得 +=0。

∴

∴直線AB的方程為y－1= －(x－2)，即y= －x+3。

（2）將y= －x+3代入+=1，得3x²－12x+18－2b²=0

又直線AB與橢圓C₂相交，∴Δ=24b²－72>0。

由|AB|=|x₁－x₂|==,得·=。

解得  b²=8，故所求橢圓方程為+=1。

考點：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)；圓與橢圓的綜合應(yīng)用。

點評：一般情況下，遇到弦中點的問題可以優(yōu)先考慮點差法。利用點差法可以減少很多的計算，因此在解有關(guān)的問題時用這種方法比較好。點差法適應(yīng)的常見問題：弦的斜率與弦的中點問題。