Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

為奇函數(shù)，且定義域?yàn)椋?1，1），f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于f（x）是奇函數(shù)，且定義域?yàn)椋?1，1），則f（0）=0，求得b，再由代入法，即可得到a；
（2）運(yùn)用定義證明，注意取值、作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟．

解答： （1）解：由于f（x）是奇函數(shù)，且定義域?yàn)椋?1，1），
則f（0）=0，即有b=0，
又f(

1

2

)=

2

5

．即有

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

，
解得，a=1，
即有a=1，b=0；
（2）證明：f（x）=

x

1+x2

，
令-1＜m＜n＜1，則f（m）-f（n）=

m

1+m2

-

n

1+n2

=

(m-n)(1-mn)

(1+m2)(1+n2)

，
由于-1＜m＜n＜1，則m-n＜0，1-mn＞0，（1+m²）（1+n²）＞0，
則f（m）-f（n）＜0，即有f（m）＜f（n），
則函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和單調(diào)性的證明，注意運(yùn)用定義和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．