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已知數列{an}滿足:a1=2,an+1=2(1+)2an.

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)設bn=(An2+Bn+C)·2n,試推斷是否存在常數A，B，C，使對一切n∈N*都有an=bn+1-bn成立？說明你的理由;

(3)求證：a1+a2+a3+…+an≥2n+2-6.

(1)解析：由已知an+1=2·（）2an,即.

∴數列{}是公比為2的等比數列,又=2,∴=2n.∴an=2n ·n2.

(2)解析：∵bn+1-bn=［An2+(4A+B)n+2A+2B+C］·2n

若an=bn+1-bn恒成立，則n2=An2+(4A+B)n+2A+2B+C恒成立.

∴故存在常數A、B、C滿足條件.

(3)證明：a1+a2+…+an=(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn+1-bn)=bn+1-b1

=［(n+1)2-4(n+1)+6］·2n+1-6=(n2-2n+3)·2n+1-6=［(n-1)2+2］·2n+1-6≥2n+2-6.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數列bn-1是等比數列；
（2）求數列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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