Question

求適合下列條件的橢圓的標準方程:

(1)長軸長是短軸長的2倍,且過點(2,-6);

(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直,且焦距為6;

(3)已知橢圓的對稱軸是坐標軸,O為坐標原點,F是一個焦點,A是一個頂點,若橢圓的長軸長是6且cos∠OFA=;

(4)橢圓過(3,0),離心率e=.

Answer 1

解:(1)設橢圓的標準方程為

由已知a=2b,

且橢圓過點(2,-6),                                                  ①

從而有                            ②

由①②,得a²=148,b²=37或a²=52,b²=13,

故所求的方程為

(2)如圖所示,

△A₁FA₂為一等腰直角三角形,OF為斜邊A₁A₂的中線(高),且OF=c,A₁A₂=2b,

∴c=b=3.∴a²=b²+c²=18.

故所求橢圓的方程為.

(3)∵橢圓的長軸長是6,cos∠OFA=,

∴點A不是長軸的端點(是短軸的端點).

∴|OF|=c,|AF|=a=3.∴

∴c=2,b²=3²-2²=5.

∴橢圓的方程是

(4)當橢圓的焦點在x軸上時，

∵a=3,,∴c=.

從而b²=a²-c²=9-6=3,

∴橢圓的方程為.

當橢圓的焦點在y軸上時，

∵b=3,,

∴∴a²=27.

∴橢圓的方程為

∴所求橢圓的方程為.