Question

已知函數(shù)f（x）=x²+x-ln（x+a）+3b在x=0處取得極值0．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=

5

2

x+m在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)f′(x)=2x+1-

1

x+a

，從而由題意得

f′(0)=0 f(0)=0

，從而解得；
（Ⅱ）由（1）知f（x）=x²+x-ln（x+1），故方程f(x)=

5

2

x+m可化為x2+x-ln(x+1)-

5

2

x-m=0，令φ(x)=x2+x-ln(x+1)-

5

2

x-m，從而求導(dǎo)φ′(x)=2x-

1

x+1

-

3

2

=

(4x+5)(x-1)

2(x+1)

；從而根據(jù)單調(diào)性求解．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)可知f′(x)=2x+1-

1

x+a

，
∵當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極值0，
∴

f′(0)=0 f(0)=0

解得a=1，b=0；
經(jīng)檢驗(yàn)a=1，b=0符合題意；

（Ⅱ）由（1）知f（x）=x²+x-ln（x+1），
則方程f(x)=

5

2

x+m即為x2+x-ln(x+1)-

5

2

x-m=0，
令φ(x)=x2+x-ln(x+1)-

5

2

x-m，
則方程φ（x）=0在區(qū)間[0，2]恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．
∵φ′(x)=2x-

1

x+1

-

3

2

=

(4x+5)(x-1)

2(x+1)

；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，φ′（x）＞0，于是φ（x）在（1，2）上單調(diào)遞增；
依題意有

φ(0)=-m≥0 φ(1)=- 1 2 -ln2-m＜0 φ(2)=1-ln3-m≥0

，
∴-

1

2

-ln2＜m≤1-ln3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．