Question

如圖，三臺機器人M₁，M₂，M₃和檢測臺M(M與M₁，M₂，M₃均不能重合)位于一條直線上，三臺機器人需把各自生產的零件送交M處進行檢測，送檢程序設定：當M₁把零件送達M處時，M₂即刻自動出發(fā)送檢，當M₂把零件送達M處時，M₃即刻自動出發(fā)送檢，設M₂的送檢的速度為v，且送檢速度是M₁的2倍、M₃的3倍．

(1)求三臺機器人M₁，M₂，M₃把各自生產的零件送達檢測臺M處的時間總和；

(2)現(xiàn)要求三臺機器人M₁，M₂，M₃送檢時間總和必須最短，清你設計出檢測臺M在該直線上的位置．

Answer 1

解：(1)由已知得檢測臺M的位置坐標為0，則機器人材M₁，M₂，M₃與檢測臺M的趴離分別為2，1，3．又M₂的送檢的速度為v,

則M₁的送檢的速度為v，

M₃的送檢的速度為v．

故三臺機器人M₁，M₂，M₃按程序把各自的生產零件送達檢測臺M處的時間總和為

y=．

(2)設x為檢測臺M的位置坐標，則三臺機器人M₁，M₂，M₃與檢測臺M的距離分別為

|x-(-2)|,|x-1|,|x-3|.

于是三臺機器人M₁，M₂，M₃按程序把各自的生產零件送達檢測臺M處的時間總和為

y=

=(2|x+2|+|x-1|+3|x-3|)．

只要求f(x)=2|x+2|+|x-1|+3|x-3|的最小值.

而f(x)=由分段函數(shù)圖像得當x∈[1,3]時，有f(x)_min=12.

即送檢時間總和最短為

又檢測臺M與M₁，M₂，M₃均不能重合，故可將檢測臺M設置在直線上機器人M₂和M₃之間的任何位置（不含M₂，M₃的位置），都能使各機器人M₁，M₂，M₃的送檢時間總和最短.