解:(1)∵正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中,DA、DC、DD
1兩兩互相垂直,
∴以D為原點,分別以DA、DC、DD
1為x、y、z軸,建立如圖空間直角坐標系
可得D(0,0,0),A(2,0,0),A
1(2,0,2),C(0,2,0),M(0,1,2),N(0,2,1)
∴向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21604.png)
=(-2,2,-1),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/756.png)
=(0,1,-2)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201306/51d606fbcdce3.png)
根據(jù)空間向量的夾角公式,得cos<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21604.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/756.png)
>=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21605.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21606.png)
設異面直線A
1N與MC所成角為θ
可得cosθ=|cos<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21604.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/756.png)
>|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21606.png)
,即異面直線A
1N與MC所成角的余弦值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21606.png)
;
(2)由(1)中所建立的坐標系,得
∵P為線段AD上任意一點,
∴設P(x,0,0),其中x∈[0,2]
可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2740.png)
=(-x,2,1)
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/756.png)
=(0,1,-2),
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/756.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2740.png)
=0×(-x)+1×2+(-2)×1=0
由此可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/756.png)
⊥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2740.png)
,即P為線段AD上任意一點,都有MC⊥PN成立.
分析:(1)以D為原點,分別以DA、DC、DD
1為x、y、z軸,建立如圖空間直角坐標系.可得D、A、A
1、C、M、N各點的坐標,從而得到向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21604.png)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/756.png)
的坐標,利用空間向量的夾角公式算出
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21604.png)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/756.png)
夾角的余弦之值,即可得到異面直線A
1N與MC所成角的余弦;
(2)根據(jù)(1)所建立的坐標系,設P(x,0,0),從而得到
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2740.png)
的坐標,再求出向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/756.png)
的坐標,從而算得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/756.png)
•
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2740.png)
=0,由此可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/756.png)
⊥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2740.png)
,即得MC⊥PN成立.
點評:本題給出正方體棱的中點,求證直線與直線垂直并求異面直線所成角,著重考查了正方體的性質、空間垂直位置關系的證明和異面直線所成角的求法等知識,屬于基礎題.