Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+2x，x＜0 lnx，x＞0

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當x≥1時，證明：曲線f（x）與g（x）=x-1僅有一個公共點；
（Ⅲ）設A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂＜0）為曲線f（x）上的兩點，且曲線f（x）在點A，B處的切線互相垂直，求x₂-x₁的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）構造函數(shù)h（x）=g（x）-f（x），求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的故選即可證明曲線f（x）與g（x）=x-1僅有一個公共點；
（Ⅲ）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當x＞0時，f（x）=lnx，為增函數(shù)，
當x＜0時，f（x）=x²+2x=（x+1）²-1，當x＜-1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當-1＜x＜0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
綜上函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，0），（0，+∞）．
（Ⅱ）因為x≥1，所以f（x）=lnx，令h（x）=g（x）-f（x）=x-1-lnx，
h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，所以h（x）=g（x）-f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以h（x）_min=h（1）=1-1-ln1=0，所以g（x）≥f（x），
“=”當且僅當x=1時成立，即函數(shù)f（x）與g（x）=x-1僅有一個公共點（1，0）．
（Ⅲ）由導數(shù)的幾何意義可知，點A處的切線斜率為f'（x₁），點B處的切線斜率為f'（x₂），
故當點A處的切線與點B處的切線垂直時，有f'（x₁）•f'（x₂）=-1．
當x＜0時，對函數(shù)f（x）求導，得f'（x）=2x+2．
因為x₁＜x₂＜0，
所以（2x₁+2）（2x₂+2）=-1，
所以2x₁+2＜0，2x₂+2＞0．因此x2-x1=

1

2

[-(2x1+2)+(2x2+2)≥

[-(2x1+2)](2x2+2)

=1，
當且僅當-（2x₁+2）=2x₂+2=1，即x1=-

3

2

且x2=-

1

2

時等號成立．
所以，函數(shù)f（x）的圖象在點A、B處的切線互相垂直時，x₂-x₁的最小值為1．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握導數(shù)的幾何意義以及導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關系．