Question

（2013•奉賢區(qū)二模）關(guān)于x的方程x²+mx+2=0（m∈R）的一個(gè)根是1+ni（n∈R⁺），在復(fù)平面上的一點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|z-m-ni|的取值范圍是

[

5

-1，

5

+1]

．

Answer 1

分析：由題意求得方程的另一個(gè)根為 1-ni，由根與系數(shù)的關(guān)系可得m=-2，n²=1．滿足|z|=1的復(fù)數(shù)z在以原點(diǎn)O為
圓心的單位圓上，而|z-m-ni|表示點(diǎn)z到點(diǎn)M（m，n）的距離，求得|OM|的值，即可得到|z-m-ni|的取值范圍．

解答：解：∵關(guān)于x的方程x²+mx+2=0（m∈R）的一個(gè)根是1+ni（n∈R⁺），∴另一個(gè)根為 1-ni，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得 （1+ni）+（1-ni）=-m，且 （1+ni）（1-ni）=2．
解得 m=-2，n²=1．
滿足|z|=1的復(fù)數(shù)z在以原點(diǎn)O為圓心的單位圓上，而|z-m-ni|表示點(diǎn)z到點(diǎn)M（m，n）的距離．
而|OM|=

m2+n2

=

4+1

=

5

，故|z-m-ni|的最小值為

5

-1，最大為

5

+1
故|z-m-ni|的取值范圍為[

5

-1，

5

+1]，
故答案為[

5

-1，

5

+1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查韋達(dá)定理、復(fù)數(shù)的模的定義，以及兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的絕對(duì)值的意義，屬于基礎(chǔ)題．