Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，一個頂點在拋物線x²=4y的準線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設O為坐標原點，M，N為橢圓上的兩個不同的動點，直線OM，ON的斜率分別為k₁和k₂，是否存在常數P，當k₁k₂=P時△MON的面積為定值；若存在，求出P的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，一個頂點在拋物線x²=4y的準線上，列出方程組，求出a=2，b=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）當直線MN存在斜率時，設其方程為y=kx+m，（m≠0），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式，求出
存在常數P，當k₁k₂=P時△MON的面積為定值1；當直線MN不存在斜率時，若k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，則|MN|=$\sqrt{2}$，d=$\sqrt{2}$，此時S_△MON=1．由此求出存在常數p=-$\frac{1}{4}$，當k₁k₂=p時，△MON的面積為定值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，一個頂點在拋物線x²=4y的準線上．
x²=4y的準線方程為y=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）當直線MN存在斜率時，設其方程為y=kx+m，（m≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
∴|MN|=$\sqrt{（{k}^{2}+1）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（{k}^{2}+1）[（\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}]}$
=$\frac{4\sqrt{（{k}^{2}+1）（4{k}^{2}+1-{m}^{2}）}}{4{k}^{2}+1}$，
點O到直線y=kx+m的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
${S}_{△MON}=\frac{1}{2}|MN|d$=$\frac{2|m|\sqrt{4{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+1}$=2$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}（1-\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}）}$，
${k}_{1}{k}_{2}=\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{{k}^{2}×\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}+km×\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}+{m}^{2}}{\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}}$
=$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{4{m}^{2}-4}$，
設$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{4{m}^{2}-4}$=p，則4k²=（1-4p）m²+4p，
于是$\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}=\frac{{m}^{2}}{（1-4p）{m}^{2}+4p+1}$，
由S_△MON為定值，得$\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}$為定值，
從而4p+1=0，解得p=-$\frac{1}{4}$，此時，S_△MON=1．
當直線MN不存在斜率時，
若k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，則|MN|=$\sqrt{2}$，d=$\sqrt{2}$，此時S_△MON=1．
綜上，存在常數p=-$\frac{1}{4}$，當k₁k₂=p時，△MON的面積為定值．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積是否為定值的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式、橢圓性質的合理運用．