Question

【題目】已知數列，其前項和為，滿足，其中，.

（1）若，求證：數列是等比數列；

（2）若數列是等比數列，求的值；

（3）若，且，求證：數列是等差數列.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據題意得到，即，所以，故數列是等比數列；（2）是等比數列，設其公比為，根據，，，可構造方程進而求得參數值；（3）先求得，由，得，兩式相減得：，化簡得到，再由迭代的方法得到數列進而證得數列是等差數列.

解析：

（1）證明：若，則當(),

所以，

即，

所以，

又由，，

得，，即，

所以，

故數列是等比數列．

（2）若是等比數列，設其公比為（ ），

當時，，即，得

　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　 ①

當時，，即，得

　　　　　　　　　　，　　　　　　　　�、�

當時，，即，得

　　　　　　　　　，　　　　　　　�、�

②①，得 ，

③②，得 ，

解得．

代入①式，得．此時()，

所以，是公比為１的等比數列，

故．

（3）證明：若，由，得，

　　又，解得．

由，， ，，代入得，

所以，，成等差數列，

由，得，

兩式相減得：

即

所以

相減得：

所以

所以

，

因為，所以，

即數列是等差數列.