Question

9．已知f'（x）是奇函數f（x）的導函數，f（-1）=0，當x＞0時，f′（x）＜$\frac{f（x）}{x}$，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-1，0）∪（0，1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 根據題意，構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，分析可得g（x）為偶函數，且g（-1）=g（1）=0，對g（x）求導可得g′（x），分析可得g′（x）＜0，即函數g（x）在（0，+∞）上為減函數，進而分析可得g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＞0在（0，+∞）的解集為（0，1），即f（x）＞0在（0，+∞）的解集為（0，1），結合函數f（x）的奇偶性可得f（x）＞0在（-∞，0）的解集，綜合可得答案．

解答 解：根據題意，令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則有g（-x）=$\frac{f（-x）}{（-x）}$=$\frac{f（x）}{x}$=g（x），即g（x）為偶函數；
f（-1）=0，則有g（-1）=$\frac{f（-1）}{（-1）}$=0，
又由g（x）為偶函數，則g（1）=0，
g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g′（x）=$\frac{f′（x）•x-（x）′•f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{x•f′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
又由當x＞0時，f′（x）＜$\frac{f（x）}{x}$，即x•f′（x）-f（x）＜0，
則有g′（x）=$\frac{f′（x）•x-（x）′•f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{x•f′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，即函數g（x）在（0，+∞）上為減函數；
又由g（1）=0，
則g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＞0在（0，+∞）的解集為（0，1），
即f（x）＞0在（0，+∞）的解集為（0，1），
又由f（x）為奇函數，則f（x）＞0在（-∞，0）的解集為（-∞，-1），
綜合可得：f（x）＞0的解集為（-∞，-1）∪（0，1）；
故選：A．

點評 本題考查函數的導數與單調性的關系，涉及函數奇偶性的性質，關鍵是構造函數g（x）．