Question

各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足＝4Sn−2an−1（n∈N*），其中Sn為{an}前n項(xiàng)和．
（1）求a1，a2的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）是否存在正整數(shù)m、n，使得向量=（2an+2，m）與向量=（−an+5，3+an）垂直？說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，＝4S1−2a1−1，化簡(jiǎn)得(a1−1)2＝0，解之得a1=1
當(dāng)n=2時(shí)，＝4S2−2a2−1=4（a1+a2）-2a2-1
將a1=1代入化簡(jiǎn)，得a22−2a2−3＝0，解之得a2=3或-1（舍負(fù)）
綜上，a1、a2的值分別為a1=1、a2=3；
（2）由＝4Sn−2an−1…①，＝4Sn+1−2an+1−1…②
②-①，得−＝4an+1−2an+1+2an＝2(an+1+an)
移項(xiàng)，提公因式得（an+1+an）（an+1-an-2）=0
∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正數(shù)，
∴an+1+an＞0，可得an+1-an-2=0
因此，an+1-an=2，得數(shù)列{an}構(gòu)成以1為首項(xiàng)，公差d=2的等差數(shù)列
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1+2（n-1）=2n-1；
（3）∵向量=（2an+2，m）與向量=（-an+5，3+an）
∴結(jié)合（2）求出的通項(xiàng)公式，得=（2（2n+3），m），=（-（2n+9），2n+2）
若向量⊥，則•=-2（2n+3）（2n+9）+m（2n+2）=0
化簡(jiǎn)得m=4（n+1）+16+
∵m、n是正整數(shù)，
∴當(dāng)且僅當(dāng)n+1=7，即n=6時(shí)，m=45，可使⊥符合題意
綜上所述，存在正整數(shù)m=45、n=6，能使向量=（2an+2，m）與向量=（-an+5，3+an）垂直．