Question

已知函數(shù)f（x）=x²+mx-4在區(qū)間[2，4]的兩個端點取得最大值和最小值，
（1）求m的取值范圍；
（2）試寫出最大值y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）最大值y是否存在最小值？若有，請求出來；若無，請說出理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=x²+mx-4在區(qū)間[2，4]的兩個端點取得最大值和最小值，可知區(qū)間[2，4]是單調(diào)區(qū)間，所以函數(shù)對稱軸-

m

2

≤2，或者-

m

2

≥4，得到m的取值范圍；
（2）由（1）可知函數(shù)的最大值為f（2）或者為f（4），列出關(guān)系式；
（3）由（2）的關(guān)系式求最小值，觀察是否存在．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+mx-4在區(qū)間[2，4]的兩個端點取得最大值和最小值，
∴對稱軸-

m

2

≤2，或者-

m

2

≥4，解得m≥-4，或者m≤-8；
（2）由（1）可得，m≥-4時，函數(shù)f（x）=x²+mx-4在區(qū)間[2，4]是增函數(shù)，∴最大值為y=f（4）=12+4m；
m≤-8時，函數(shù)f（x）=x²+mx-4在區(qū)間[2，4]是減函數(shù)，∴最大值為y=f（2）=2m；
∴最大值y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=

12+4m，m≥-4 2m，m≤-8

；
（3）由（2）可知最大值y不存在最小值；因為m≤-8時，y=2m≤-16，沒有最小值．

點評：本題考查了二次函數(shù)的閉區(qū)間是最值的問題，當二次函數(shù)解析式和區(qū)間有一個含有參數(shù)時，要討論會上的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，明確區(qū)間的單調(diào)性，才能利用最值解題．