Question

如圖，已知圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為. 由點(diǎn)出發(fā)的射線的斜率為. 射線與圓相交于另一點(diǎn)

（1）當(dāng)時(shí)，試用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：“射線的斜率為有理數(shù)”是“點(diǎn)為單位圓上的有理點(diǎn)”的充要條件；（說(shuō)明：坐標(biāo)平面上，橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點(diǎn)為有理點(diǎn).我們知道，一個(gè)有理數(shù)可以表示為，其中、均為整數(shù)且、互質(zhì)）

（3）定義：實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”.

當(dāng)為有理數(shù)且時(shí)，試證明：一定能構(gòu)造偶數(shù)個(gè)“整勾股雙曲線”(規(guī)定：實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)都對(duì)應(yīng)相等的雙曲線為同一個(gè)雙曲線)，它的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的長(zhǎng)恰可由點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑的數(shù)值構(gòu)成. 說(shuō)明你的理由并請(qǐng)嘗試給出構(gòu)造方法.

Answer 1

（1）  （2）證明略  （3）略

解析:

（1）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為. 由題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

于是可設(shè)射線的方程為，

代入圓的方程可得：…①

方程①中，一個(gè)解必為，則由根與系數(shù)關(guān)系可知

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；代入直線方程可得.所以，點(diǎn)的坐標(biāo)即為.

（2）充分性：設(shè)射線的斜率（其中、均為整數(shù)且、互質(zhì)）

則由（1）可知，.

因?yàn)?img width=16 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/129/27329.gif">、均為整數(shù)，所以、必為一個(gè)有理數(shù)，從而點(diǎn)必為一個(gè)有理點(diǎn).

必要性：若點(diǎn)為有理點(diǎn)，則可設(shè)，（其中、、、均為整數(shù)且和互質(zhì)、和互質(zhì)）

于是，，因?yàn)?img width=19 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/172/27372.gif">、、、均為整數(shù)，所以必為一個(gè)有理數(shù).

（3）證：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)必定落在第一象限的四分之一圓周上，即，.

而由，所以的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)以及圓的半徑必能構(gòu)成某個(gè)雙曲線的一組實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的數(shù)據(jù). 由（2）結(jié)論可知，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為其中、此時(shí)均為正整數(shù)且、互質(zhì).

于是，只要構(gòu)造圓半徑（其中為正整數(shù)）時(shí)，則會(huì)有

,，它們都為正整數(shù)，且滿足.

因此，對(duì)于斜率為（其中、均為整數(shù)，且、互質(zhì)）的斜線，只需確定圓的半徑滿足（其中為正整數(shù)），則必定能構(gòu)造“整勾股雙曲線”滿足題意.

特別地，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)必為，而此時(shí)射線的斜率為，不是有理數(shù).所以，構(gòu)造出的雙曲線一定不是等軸雙曲線，

即由，可構(gòu)造的“整勾股雙曲線”的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)可由和構(gòu)成，且個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)個(gè).