Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}，n∈{N^*}$．
（1）證明：數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設${b_n}=\frac{a_n}{2n+1}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求使不等式S_n＜k對一切n∈N^*恒成立的實數(shù)k的范圍．

Answer 1

分析 （1）對遞推式兩邊取倒數(shù)化簡即可得出$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，結論得證，利用等差數(shù)列的通項公式得出$\frac{1}{{a}_{n}}$，再得出a_n；
（2）使用裂項法求出S_n，使用不等式得出S_n的范圍，從而得出k的范圍．

解答 （1）證明：∵${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$，∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{a_n}+2$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，又a₁=1，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{a_n}=2n-1$，
∴${a_n}=\frac{1}{2n-1}$．        
（2）解：${b_n}=\frac{1}{（2n+1）（2n-1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${S_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）＜\frac{1}{2}$，
要使不等式S_n＜k對一切n∈N^*恒成立，則k$≥\frac{1}{2}$．
∴k的范圍為$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的判斷，等差數(shù)列的通項公式，裂項法求和，屬于中檔題．