Question

15．設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足4x²-2$\sqrt{3}$xy+4y²=13，則x²+4y²的取值范圍是$[10-4\sqrt{3}，10+4\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 設(shè)x²+4y²=t²，則x=tcosα，y=$\frac{1}{2}$tsinα，代入4x²-2$\sqrt{3}$xy+4y²=13，可得t²=$\frac{13}{4co{s}^{2}α-\sqrt{3}sinαcosα+si{n}^{2}α}$=$\frac{13}{\frac{5}{2}-\sqrt{3}sin（2α-\frac{π}{3}）}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：設(shè)x²+4y²=t²，則x=tcosα，y=$\frac{1}{2}$tsinα，
∵4x²-2$\sqrt{3}$xy+4y²=13，
∴t²=$\frac{13}{4co{s}^{2}α-\sqrt{3}sinαcosα+si{n}^{2}α}$=$\frac{13}{3×\frac{1+cos2α}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}sinαcosα+1}$=$\frac{13}{\frac{5}{2}+\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}cos2α-\frac{1}{2}sin2α）}$=$\frac{13}{\frac{5}{2}-\sqrt{3}sin（2α-\frac{π}{3}）}$，
∴$sin（2α-\frac{π}{3}）$=-1時，t²取得最小值：$\frac{13}{\frac{5}{2}+\sqrt{3}}$=10-4$\sqrt{3}$；
$sin（2α-\frac{π}{3}）$=1時，t²取得最大值：$\frac{13}{\frac{5}{2}-\sqrt{3}}$=10+4$\sqrt{3}$．
綜上可得：t²∈$[10-4\sqrt{3}，10+4\sqrt{3}]$．
即x²+4y²的取值范圍是$[10-4\sqrt{3}，10+4\sqrt{3}]$．
故答案為：$[10-4\sqrt{3}，10+4\sqrt{3}]$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、換元方法、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．