Question

如圖，在四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是邊長為2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是邊長為1的正方形，側(cè)棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（1）求證：B₁B∥平面D₁AC；
（2）求證：平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁．

Answer 1

證明：（1）設(shè)AC∩BD=E，連接D₁E，
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁．
∴B₁D₁∥BE，∵B₁D₁=BE=，
∴四邊形B₁D₁EB是平行四邊形，
所以B₁B∥D₁E．
又因為B₁B?平面D₁AC，D₁E?平面D₁AC，
所以B₁B∥平面D₁AC
（2）證明：側(cè)棱DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁．
∵下底ABCD是正方形，AC⊥BD．
∵DD₁與DB是平面B₁BDD₁內(nèi)的兩條相交直線，
∴AC⊥平面B₁BDD₁
∵AC?平面D₁AC，∴平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁．
分析：（1）設(shè)AC∩BD=E，連接D₁E，根據(jù)平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁的性質(zhì)得B₁D₁∥BE，而B₁D₁=BE=，則四邊形B₁D₁EB是平行四邊形，從而B₁B∥D₁E，又因B₁B?平面D₁AC，D₁E?平面D₁AC，根據(jù)線面平行的判定定理可知B₁B∥平面D₁AC；
（2）根據(jù)側(cè)棱DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，得AC⊥DD₁．而下底ABCD是正方形則AC⊥BD，根據(jù)DD₁與DB是平面B₁BDD₁內(nèi)的兩條相交直線，則AC⊥平面B₁BDD₁，AC?平面D₁AC，根據(jù)面面垂直的判定定理可知平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁．
點評：本題主要考查了直線與平面平行、直線與平面垂直的判定定理，同時考查了空間想象能力以及推理能力，涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強．