Question

已知圓C過點Q（-1，1），且與圓(x＋3)²＋(y＋3)²＝r²（＞0）關(guān)于直線x＋y＋3＝0對稱．

（Ⅰ）求圓C的方程；

（Ⅱ）在圓C上探索一點P（P在第一象限），過點P作兩條直線分別與圓C相交于點A、B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補， O為坐標原點，使得直線OP∥AB，并請說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意，可設(shè)圓C的方程為(x－a)²＋(y－b)²＝r²，  …… 1分

且a、b滿足方程組                     ……3分

由此解得a＝b＝0  ．                                  ……5分

又因為點Q（-1，1）在圓C上，所以

．         ……6分

故圓C的方程為x²＋y²＝2．                        ……7分

（2）P（1，1），由題意可知，直線和直線的斜率存在且互為相反數(shù)，

故可設(shè)所在的直線方程為，所在的直線方程為．

由  消去，并整理得 ：

．  ①       

設(shè)，又已知P ，則、1為方程①的兩相異實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得  ．同理，若設(shè)點B ，則可得．

于是  ＝=1．  

而直線OP的斜率也是1，且兩直線不重合，因此，直線OP與AB平行．