Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=-an-(

1

2

)n-1+2（n為正整數(shù)）．
（1）證明：an+1=

1

2

an+(

1

2

)n+1，并求數(shù)列{a_n}的通頂公式；
（2）若

cn

n+1

=

an

n

，Tn=c1+c2+…+cn，求T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2（n為正整數(shù)）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能夠an+1=

1

2

an+(

1

2

)n+1，并求數(shù)列{a_n}的通頂公式．
（2）由（1）可求出c_n=（n+1）（

1

2

）ⁿ，再結(jié)合其表達式的特征知可用錯位相減法求T_n．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=-an-(

1

2

)n-1+2（n為正整數(shù)），
∴當(dāng)n=1時，S₁=a₁=-a₁-1+2，∴a₁=

1

2

．
當(dāng)n≥2時，S_n-1=-a_n-1-（

1

2

）^n-2+2，
∴S_n-S_n-1=a_n=-a_n+a_n-1-（

1

2

）^n-1+（

1

2

）^n-2，
∴2a_n=a_n-1+（

1

2

）^n-1，
∴2a_n+1=a_n+（

1

2

）ⁿ，
∴an+1=

1

2

an+(

1

2

)n+1．
設(shè)b_n=2ⁿa_n，
∴b_n-b_n-1=1，即當(dāng)n≥2時b_n-b_n-1=1
又∵b₁=2a₁=1
∴數(shù)列{b_n}是首項和公差均為1的等差數(shù)列．
∴b_n=1+（n-1）×1=n=2na_n，
∴a_n=

n

2n

．
（2）∵

cn

n+1

=

an

n

，
∴cn=

n+1

n•an

=（n+1）（

1

2

）ⁿ，
∴T_n=2×

1

2

+3×（

1

2

）²+4×（

1

2

）³+…+（n+1）（

1

2

）ⁿ，①

1

2

T_n=2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+4×（

1

2

）⁴+…+（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹，②
由①-②得

1

2

T_n=1+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）ⁿ-（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹=

3

2

-

n+3

2n

，
∴T_n=3-

n+3

2n

．

點評：本題主要考查了數(shù)列通項公式的求解和數(shù)列的求和，屬�？碱}，較難．解題的關(guān)鍵是公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，以及錯位相減法求和的應(yīng)用!