Question

【題目】已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.

(1) 若是函數(shù)的導函數(shù)，當時，解關于的不等式；

(2) 若在 上是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；

(3) 當時，求整數(shù)的所有值，使方程在上有解．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)；(3).

【解析】

(1)先求導數(shù)，所求不等式可化為ax2＋(2a＋1)x>0然后可求；

(2)在 上是單調(diào)增函數(shù)轉(zhuǎn)化為在恒成立，結合根的分布求解；

(3)根據(jù)零點存在定理和單調(diào)性，先確定零點所在區(qū)間，然后確定的值.

(1) f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]·ex.

不等式f′(x)>ex可化為[ax2＋(2a＋1)x]·ex>0.

因為ex>0，故有ax2＋(2a＋1)x>0.

當a>0時，不等式f′(x)>ex的解集是.

(2) 由(1)得f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]·ex.

① 當a＝0時，f′(x)＝(x＋1)ex，f′(x)>0在[－1，1]上恒成立，

當且僅當x＝－1時取等號，故a＝0符合要求；

② 當a≠0時，令g(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋1，

因為Δ＝(2a＋1)2－4a＝4a2＋1>0，

所以g(x)＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，不妨設x1>x2，

因此f(x)既有極大值又有極小值．

若a>0，因為g(－1)·g(0)＝－a<0，所以f(x)在(－1，1)上有極值點．

故f(x)在[－1，1]上不單調(diào)．

若a<0，可知x1>0>x2，

因為g(x)的圖象開口向下，要使f(x)在[－1，1]上單調(diào)，又g(0)＝1>0，

必須滿足，即，解得≤a<0.

綜上所述，a的取值范圍是.

(3) 當a＝0時，方程即為xex＝x＋2，由于ex>0，所以x＝0不是方程的解，

所以原方程等價于ex－－1＝0，令h(x)＝ex－－1.

因為h′(x)＝ex＋>0對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，

所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．

又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－2>0，h(－3)＝e－3－<0，h(－2)＝e－2>0，

所以方程f(x)＝x＋2有且只有兩個實數(shù)根，

且分別在區(qū)間[1，2]和[－3，－2]上，

所以整數(shù)k的所有值為{－3，1}．