Question

在Rt△ABC中，BC=2，AB=4，∠ACB=90°，D為邊AB的中點，沿CD把△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．
（1）求異面直線BC與AD所成角的余弦值．
（2）求平面ABC與平面ABD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）在平面ACD中，過F作CF∥AD，且CF=AD=2，連接BF，則∠BCF或補角即為異面直線BC和AD所成的角．過B在平面BCD內(nèi)作BE⊥CD，則垂足E即為中點，即有BE=

3

，再由余弦定理求EF，由勾股定理得到BF，再由余弦定理即可得到所求值；
（2）取AB的中點H，連接DH，則DH⊥AB，過D作DO⊥平面ABC，垂足為O，連接OH，易得OH⊥AB，則∠DHO即為面ABC與面ABD所成的銳二面角的平面角，在△ABD中求得DH，設(shè)D到平面ABC的距離為d，由于V_D-ABC=V_B-ACD，即有

1

3

dS_△ABC=

1

3

BE•S_△ACD，通過計算即可得到d，再在△DHO中，運用正弦和余弦函數(shù)的定義，即可得到所求值．

解答： 解：（1）在平面ACD中，過F作CF∥AD，且CF=AD=2，連接BF，
則∠BCF或補角即為異面直線BC和AD所成的角．
過B在平面BCD內(nèi)作BE⊥CD，則垂足E即為中點，
即有BE=

3

，由于平面BCD⊥平面ACD，則BE⊥平面ACD，
則有BE⊥EF，
在△CEF中，CE=1，CF=2，∠ECF=60°，
則EF²=1+4-2×1×2×cos60°=3，
即有BF²=BE²+EF²=3+3=6，
即有cos∠BCF=

4+4-6

2×2×2

=

1

4

，
故異面直線BC與AD所成角的余弦值為

1

4

；
（2）取AB的中點H，連接DH，則DH⊥AB，
過D作DO⊥平面ABC，垂足為O，連接OH，易得OH⊥AB，
則∠DHO即為面ABC與面ABD所成的銳二面角的平面角，
連接AE，則BE⊥AE，即有AB²=AE²+BE²=3+1+4-2×1×2×（-

1

2

）=10，
在△ABD中，DH=

BD2-BH2

=

4- 10 4

=

6

2

，
設(shè)D到平面ABC的距離為d，
在△ABC中，BC=2，AC=2

3

，AB=

10

，
由余弦定理得，cos∠ABC=

1

2 10

，即有sin∠ABC=

39

2 10

，
則△ABC的面積為

1

2

×

10

×2×

39

2 10

=

39

2

，
由于V_D-ABC=V_B-ACD，即有

1

3

dS_△ABC=

1

3

BE•S_△ACD，
即

1

3

d×

39

2

=

1

3

×

3

×

1

2

×2×2×

3

2

，解得d=

6

39

，
則有sin∠DHO=

DO

DH

=

6

39

×

2

6

=

2 2

13

，
即有cos∠DHO=

65

13

．
故平面ABC與平面ABD所成的銳二面角的余弦值為

65

13

．

點評：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查空間的異面直線所成的角和二面角的求法，考查運算能力和空間想象能力，屬于中檔題．