Question

如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯誤的為（　　）

• A、AC⊥BD
• B、AC=BD
• C、AC∥截面PQMN
• D、異面直線PM與BD所成的角為45°

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：首先由正方形中的線線平行推導(dǎo)線面平行，再利用線面平行推導(dǎo)線線平行，這樣就把AC、BD平移到正方形內(nèi)，即可利用平面圖形知識做出判斷．

解答： 解：因為截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，
則PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正確；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正確；
∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．
由BD∥PN，
∴∠MPN是異面直線PM與BD所成的角，且為45°，D正確；
由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．
∴

PN

BD

=

AN

AD

，

MN

AC

=

DN

AD

，
而AN≠DN，PN=MN，
∴BD≠AC．B錯誤．
故選：B．

點評：本題考查了線面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)、異面直線所成的角，屬于基本知識的考查．