Question

已知過點P（0，2）的直線l與橢圓

x2

2

+y²=1交于兩個不同的點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），記λ=

|PA|

|PB|

，則

λ2+1

λ

的取值范圍是（　�。�

• A、（2，+∞）
• B、（2，

  10

  3

  ）
• C、（2，4）
• D、（2，

  10

  3

  ]

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：如圖所示．當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+2．A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立可得（1+2k²）x²+8kx+6=0，由于△＞0，可得k2＞

3

2

．可得根與系數(shù)的關(guān)系x₁+x₂=

-8k

1+2k2

，x1x2=

6

1+2k2

．（*
由于

PA

=λ

PB

，可得x₁=λx₂．聯(lián)立可得：

λ2+1

λ

=

1

3

•(10-

16

1+2k2

)，根據(jù)k2＞

3

2

，可得

λ2+1

λ

的取值范圍．當直線l的斜率不存在時，A（0，1），B（0，-1），λ=

1

3

，可得

λ2+1

λ

．

解答： 解：如圖所示．
當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+2．
A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+2 x2+2y2=2

，化為（1+2k²）x²+8kx+6=0，
△＞0，即64k²-24（1+2k²）＞0，化為k2＞

3

2

．（*）
∴x₁+x₂=

-8k

1+2k2

，x1x2=

6

1+2k2

．（**）
∵

PA

=λ

PB

，∴x₁=λx₂．
與（**）聯(lián)立可得：

λ2+1

λ

=

1

3

•(10-

16

1+2k2

)，
∵k2＞

3

2

，
∴2＜

1

3

(10-

16

1+2k2

)＜

10

3

．
即2＜

λ2+1

λ

＜

10

3

．
當直線l的斜率不存在時，A（0，1），B（0，-1），λ=

1

3

，∴

λ2+1

λ

=

10

3

．
綜上可得：2＜

λ2+1

λ

≤

10

3

．
故選：D．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量的坐標運算、不等式的性質(zhì)，考查了靈活變形的能力，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．