Question

20．已知{a_n}是遞增數(shù)列，且對于任意n∈N^*，都有a_n=n²+3λn成立，則實數(shù)λ的取值范圍是（　�。�

• A． λ＞1
• B． λ＜1
• C． λ＞-1
• D． λ＜-1

Answer 1

分析 解法一：由{a_n}是遞增數(shù)列，可得對于任意n∈N^*，都有a_n+1＞a_n．化簡利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．
解法二：a_n=n²+3λn=$（n+\frac{3λ}{2}）^{2}$-$\frac{9{λ}^{2}}{4}$，由{a_n}是遞增數(shù)列，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解法一：∵{a_n}是遞增數(shù)列，
∴對于任意n∈N^*，都有a_n+1＞a_n．
∴（n+1）²+3λ（n+1）＞n²+3λn，
化為：λ＞-$\frac{2n+1}{3}$．
∵數(shù)列$\{-\frac{2n+1}{3}\}$單調(diào)遞減，∴n=1時取得最大值-1，
∴λ＞-1．
解法二：a_n=n²+3λn=$（n+\frac{3λ}{2}）^{2}$-$\frac{9{λ}^{2}}{4}$，
∵{a_n}是遞增數(shù)列，
∴$-\frac{3λ}{2}$＜$\frac{3}{2}$，
∴λ＞-1．
故選：C．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．