Question

5．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角做標(biāo)方程；
（Ⅱ）圓C的圓心為C，點P為直線l上的動點，求|PC|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得圓C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）把直線化成直角坐標(biāo)方程，直線到圓心C的距離最小即可．

解答 解：（Ⅰ）由圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2$\sqrt{3}$sinθ，可得：ρ²=2$\sqrt{3}$ρsinθ．
由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得：${x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}y$．
即圓的方程為：${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=3$．
（Ⅱ）由直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，可得：$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}=0$．
由（Ⅰ）可得：圓心為（0，$\sqrt{3}$），半徑$\sqrt{3}$
圓心到直線的距離d=$\frac{|-\sqrt{3}-3\sqrt{3}|}{2}$=$2\sqrt{3}$．
所以：|PC|的最小值2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化能力．再利用普通方程的性質(zhì)求解．屬于基礎(chǔ)題．