(2012•泰州二模)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ln(2x+1)-a(2x+1)2-x(a>0).
(1)若函數(shù)f(x)在x=0處取極值,求a的值;
(2)如圖,設(shè)直線x=-
12
,y=-x將坐標(biāo)平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個區(qū)域(不含邊界),若函數(shù)y=f(x)的圖象恰好位于其中一個區(qū)域內(nèi),判斷其所在的區(qū)域并求對應(yīng)的a的取值范圍;
(3)比較32×43×54×…×20122011與23×34×45×…×20112012的大小,并說明理由.
分析:(1)由f(x)=(2x+1)ln(2x+1)-a(2x+1)2-x得f′(x)=2ln(2x+1)-4a(2x+1)+1,由f(x)在x=0處取極值,能求出a.
(2)由函數(shù)的定義域?yàn)椋?
1
2
,+∞),且當(dāng)x=0時,f(0)=-a<0,又直線y=-x恰好過原點(diǎn),所以函數(shù)y=f(x)的圖象應(yīng)位于區(qū)域Ⅲ內(nèi),于是f(x)<-x,由此能求出a的取值范圍.
(3)由(2)知,函數(shù)m(x)=
ln(2x+1)
2x+1
在x∈(
e-1
2
,+∞)時單調(diào)遞減,函數(shù)p(x)=
lnx
x
在x∈(e,+∞)時,單調(diào)遞減,故 (x+1)x<x(x+1),由此能比較32×43×54×…×20122011與23×34×45×…×20112012的大。
解答:解:(1)∵f(x)=(2x+1)ln(2x+1)-a(2x+1)2-x,
∴f′(x)=2ln(2x+1)-4a(2x+1)+1,
∵f(x)在x=0處取極值,
∴f′(0)=-4a+1=0,
∴a=
1
4
,經(jīng)檢驗(yàn)a=
1
4
符合題意,
故a=
1
4

(2)∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?
1
2
,+∞),且當(dāng)x=0時,f(0)=-a<0,
又直線y=-x恰好過原點(diǎn),
所以函數(shù)y=f(x)的圖象應(yīng)位于區(qū)域Ⅲ內(nèi),
于是f(x)<-x,
即 (2x+1)ln(2x+1)-a(2x+1)2-x<-x,
∵2x+1>0,∴a>
ln(2x+1)
2x+1
,
令h(x)=
ln(2x+1)
2x+1
,∴h′(x)=
2-ln(2x+1)
(2x+1)2
,
令h′(x)=0,得x=
e-1
2
,
∵x>-
1
2
,∴x∈(-
1
2
,
e-1
2
)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
x∈(
e-1
2
,+∞)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.
∴mmax(x)=m(
e-1
2
)=
1
e
,
∴a的取值范圍是:a>
1
e

(3)由(2)知,函數(shù)m(x)=
ln(2x+1)
2x+1
在x∈(
e-1
2
,+∞)時單調(diào)遞減,
∴函數(shù)p(x)=
lnx
x
在x∈(e,+∞)時,單調(diào)遞減,
ln(x+1)
x+1
lnx
x
,∴xln(x+1)<(x+1)lnx,
∴l(xiāng)n(x+1)x<lnx(x+1),即(x+1)x<x(x+1),
∴令x=3,4,…,2011,則43<34,54<45,…,20122011<20112012
又32×43<23×34,
∴32×43×54×…×20122011<23×34×45×…×20112012
點(diǎn)評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),難度大,是高考的重點(diǎn).解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意挖掘題中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
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π
3
,則f(
π
12
)
=
-
10
10
-
10
10

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