求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最大值與最小值:

(1)f(x)=2x,x∈[-1,5];

(2)f(x)=-2x3+3x2+6x-1,x∈[-2,2];

(3)f(x)=sin3x+cos3x,x∈[0,π];

(4)f(x)=xlnx,x∈(0,e);

(5)f(x)=x,x∈R.

分析:函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo),必有最大值和最小值.因此,在求閉區(qū)間[a,b]上的函數(shù)最值時(shí),只需求出函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的極值,然后與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較即可.

解:(1)f(x)=2x在[-1,5]上是增函數(shù),

所以f(x)max=f(5)=25=32,f(x)min=f(-1)=2-1=.

(2)f′(x)=-6x2+6x+6=-6(x2-x-1).

令f′(x)=0,有x2-x-1=0,解得x=.

x

-2

(-2,)

(,)

(,2)

2

f′(x)

 

-

0

+

0

-

 

f(x)

15

極小值

極大值

7

f()=<7,f()=<15.

由上表可知,最大值是f(-2)=15,最小值是f(1-52)=5(1-5)2.

(3)f′(x)=3sin2x·cosx-3cos2xsinx=3sinx·cosx(sinx-cosx).

令f′(x)=0,有sinx·cosx·(sinx-cosx)=0,

又x∈[0,π],所以解得x=0或.

f(0)=1,f()=1,f()=,f(π)=0.

所以最大值是1,最小值是0.

(4)f′(x)=lnx+1.令f′(x)=0,有l(wèi)nx+1=0,解得x=e-1=.

當(dāng)x→0時(shí),f(x)→0.f(e)=e,f()=-.

所以最大值為f(e)=e,最小值為f()=-.

(5)f′(x)=(x·)′=-2x2·.令f′(x)=0,有2x2=1,所以x=±.

當(dāng)→∞時(shí),f(x)=→0.

f(-)=-,f()=.

所以最大值為,最小值為-.

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