Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2（n為正整數(shù)）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令c_n=

n+1

n

a_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n．是否存在最小的正整數(shù)m，使得對于n∈N^×都有T_n＜2m-4恒成立，若存在，求出m的值；不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得2a_n+1=a_n+（

1

2

）ⁿ，由此能證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2）由a₁=S₁=-a₁-（

1

2

）⁰+2，得a1=

1

2

，由b_n=2ⁿa_n，b_n+1=b_n+1，得b_n=2ⁿa_n=n，由此能求出an=

n

2n

．
（3）由c_n=

n+1

n

a_n=

n+1

2n

，利用錯位相減法能求出T_n=3-

n+3

2n

．（T_n）_min=T₁=3-

1+3

2

=1．假設(shè)存在最小的正整數(shù)m，使得對于n∈N^×都有T_n＜2m-4恒成立，則2m-4＞1，由此能求出最小的正整數(shù)m=3．

解答： （1）證明：∵S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2，
∴S_n+1=-a_n+1-（

1

2

）ⁿ+2，
S_n+1-S_n=a_n+1=-a_n+1+a_n+（

1

2

）ⁿ，
2a_n+1=a_n+（

1

2

）ⁿ，
2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+1，
∵b_n=2ⁿa_n，∴b_n+1=b_n+1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2）解：∵S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2，
∴a₁=S₁=-a₁-（

1

2

）⁰+2，解得a1=

1

2

，
又b_n=2ⁿa_n，b_n+1=b_n+1，
∴b₁=2×

1

2

=1，∴b_n=2ⁿa_n=n，
∴an=

n

2n

．
（3）解：∵c_n=

n+1

n

a_n=

n+1

2n

，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=

2

2

+

3

4

+

4

8

+…+

n+1

2n

，①
2T_n=2+

3

2

+

4

4

+…+

n+1

2n-1

，②
②-①，得：
T_n=2+

1

2

+

1

4

+…+

1

2n-1

-

n+1

2n

=2+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n

=3-

1

2n-1

-

n+1

2n

=3-

n+3

2n

．
（T_n）_min=T₁=3-

1+3

2

=1．
假設(shè)存在最小的正整數(shù)m，使得對于n∈N^×都有T_n＜2m-4恒成立，
則2m-4＞1，解得m＞

5

2

，
∴最小的正整數(shù)m=3．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的最小的正整數(shù)的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．