Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前六項的和為60，且a₁=5．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），b₁=3，求數(shù)列{

1

bn

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），b₁=3，利用“累加求和”b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=a_n-1+a_n-2+…+a₁+3=S_n-1+3即可得出．

1

bn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．再利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵其前六項的和為60，且a₁=5．∴6×5+

6×5

2

d=60，解得d=2．
∴a_n=5+（n-1）×2=2n+3，S_n=

n(5+2n+3)

2

=n²+4n．
（2）∵數(shù)列{b_n}滿足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），b₁=3，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a_n-1+a_n-2+…+a₁+3
=S_n-1+3
=（n-1）²+4（n-1）+3
=n²+2n．
當n=1時也適合．
∴

1

bn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
∴數(shù)列{

1

bn

}的前n項和T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“累加求和”、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．