解::(1)方程|f(x)|=g(x),即|x
2-1|=m|x-1|,變形得|x-1|(|x+1|-m)=0,
顯然,x=1已是該方程的根,從而欲使原方程只有一解,即要求方程|x+1|=m有且僅有一個等于1的解或無解,∴m<0.
(2)當x∈R時,不等式f(x)≥g(x)恒成立,即(x
2-1)≥m|x-1|(*)對x∈R恒成立,
①當x=1時,(*)顯然成立,此時m∈R;
②當x≠1時,(*)可變形為m≤
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,令φ(x)=
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=
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,
因為當x>1時,φ(x)>2,當x<1時,φ(x)>-2,所以φ(x)>-2,故此時m≤-2.
綜合①②,得所求實數m的取值范圍是(-∞,-2].
(3)(Ⅲ)因為h(x)=|f(x)|+g(x)=|x
2-1|+m|x-1|=
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,由此可得
當m≥0時,h(x)在[-2,2]上的最大值為3a+3;
當-3≤m<0時,h(x)在[-2,2]上的最大值為a+3;
當m<-3時,h(x)在[-2,2]上的最大值為0.
分析:(1)將方程變形,利用x=1已是該方程的根,從而欲原方程只有一解,即要求方程|x+1|=m有且僅有一個等于1的解或無解,從而可求實數m的取值范圍;
(2)將不等式分離參數,確定函數的值域,即可求得實數m的取值范圍.
(3)去絕對值,分段求函數的最值.
點評:本題考查構成根的問題,考查分離參數法的運用,考查恒成立問題,正確變形是解題的關鍵,屬于中檔題.