Question

7．已知經(jīng)過P（4，-2），Q（-1，3）兩點的圓C半徑小于5，且在y軸上截得的線段長為$4\sqrt{3}$，
（I）求圓C的方程；
（II）已知直線l∥PQ，若l與圓C交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，根據(jù)經(jīng)過P（4，-2），Q（-1，3）兩點的圓C半徑小于5，且在y軸上截得的線段長為$4\sqrt{3}$，求出D，E，F(xiàn)，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）利用直線的平行關系設出直線的方程，利用設而不求的思想得到關于所求直線方程中未知數(shù)的方程，通過方程思想確定出所求的方程，注意對所求的結果進行驗證和取舍．

解答 解：（Ⅰ）  設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令x=0⇒y²+Ey+F=0，∴y₁+y₂=-E，y₁•y₂=F，
∴$4\sqrt{3}=|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}•{y_2}}=\sqrt{{E^2}-4F}$，
∴E²-4F=48①…（2分）
又圓過P（4，-2），Q（-1，3）兩點，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{16+4+4D-2E+F=0}\\{1+9-D+3E+F=0}\end{array}}\right.$$⇒\left\{{\begin{array}{l}{4D-2E+F=-20}\\{-D+3E+F=-10}\end{array}}\right.$⇒2E+F=-12…②
由 ①②得：$\left\{{\begin{array}{l}{D=2}\\{E=0}\\{F=-12}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{D=-10}\\{E=-8}\\{F=4}\end{array}}\right.$…（4分）
∵圓的半徑小于5，∴圓的方程為x²+y²-2x-12=0…（6分）
（Ⅱ）${k_{PQ}}=\frac{3-（-2）}{-1-4}=-1$，∴設l的方程為：x+y+m=0…（7分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{x+y+m=0}\\{{x^2}+{y^2}-2x-12=0}\end{array}}\right.$⇒2x²+（2m-2）x+m²-12=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=1-m，{x_1}•{x_2}=\frac{{{m^2}-12}}{2}$…（9分）
∵以AB為直徑的圓過原點，∴OA⊥OB，…（10分）
∴x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+（-x₁-m）•（-x₂-m）=0
整理得：m²+m-12=0⇒m=3或m=-4，…（11分）
且m=3或m=-4均滿足△＞0…（12分）
∴l(xiāng)的方程為x+y+3=0或x+y-4=0…（13分）

點評 本題考查直線與圓的綜合問題，考查直線方程的求解方法和圓方程的求解方法，注意待定系數(shù)法的運用，考查學生對直線與圓相交弦長有關問題的處理方法，考查設而不求思想的運用，考查方程思想和轉化與化歸的思想，是中檔題．