Question

13．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是邊長為4的等邊三角形，D為邊AB的中點，且CC₁=2AB．
（1）求證：平面C₁CD⊥平面ADC₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱錐D-CAB₁的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出CC₁⊥AB，CD⊥AB，從而AB⊥平面C₁CD，由此能證明平面C₁CD⊥平面ADC₁．
（2）連結(jié)BC₁，交B₁C于點O，連結(jié)DO．則DO∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面CDB₁．
（3）三棱錐D-CAB₁的體積${V}_{D-CA{B}_{1}}={V}_{{B}_{1}-CBD}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）∵CC₁⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴CC₁⊥AB，
∵△ABC是等邊三角形，CD為AB邊上的中線，
∴CD⊥AB，（2分）
∵CD∩CC₁=C，∴AB⊥平面C₁CD，
∵AB?平面ADC₁，
∴平面C₁CD⊥平面ADC₁．
（2）連結(jié)BC₁，交B₁C于點O，連結(jié)DO．
則O是BC₁的中點，DO是△BAC₁的中位線．
∴DO∥AC₁．
∵DO?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．（8分）
解：（3）∵CC₁⊥平面ABC，BB₁∥CC₁，
∴BB₁⊥平面ABC．
∴BB₁ 為三棱錐D-CBB₁ 的高．
∴三棱錐D-CAB₁的體積：
${V}_{D-CA{B}_{1}}={V}_{{B}_{1}-CBD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•B{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×8$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
∴三棱錐D-CAB₁的體積為$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．