Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=1-a_n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）比較

1

1+an

與

n

1+n

-

n2

(n+1)2

(an-

1

n

)的大�。╪∈N^*）；
（3）證明：

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＞

n2

n+1-an

(n∈N*，n≥2)．

Answer 1

分析：（1）由S_n=1-a_n，解得 a1=

1

2

．a(chǎn)_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），由此得2a_n=a_n-1，從而得到數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令x=

1

n

，構(gòu)造函數(shù)f(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(an-x)(x＞0)，求導(dǎo)可知f（x）的最大值是f(an)=

1

1+an

，從而可以比較大小；
（3）由條件可知

1

1+ai

＞

1

1+x

-

1

(1+x)2

(ai-x)(x＞0，i=1，2，n)且“=”成立的條件是x=a_i，從而可證．

解答：解：（1）∵S_n=1-a_n，當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1-a₁，解得 a1=

1

2

．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），由此得2a_n=a_n-1即

an

an-1

=

1

2

∴數(shù)列{a_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，∴an=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

（2）令x=

1

n

，構(gòu)造函數(shù)f(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(an-x)(x＞0)，則f/(x)=

2(an-x)

(1+x)3

，所以f（x）的最大值是f(an)=

1

1+an

，∴f(

1

n

)＜

1

1+an

，∴

1

1+an

＞

n

1+n

-

n2

(n+1)2

(an-

1

n

)
（3）由（2）可知

1

1+ai

＞

1

1+x

-

1

(1+x)2

(ai-x)(x＞0，i=1，2，n)且“=”成立的條件是x=a_i，
所以：

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＞

n

1+x

-

1

(1+x)2

(a1+a2+an-nx)，
令x=

a1+a2+an

n

，則

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＞

n

1+ a1+a2+an n

，
所以：

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＞

n2

n+ 1 2 + 1 22 + 1 2n

∴

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＞

n2

n+1-an

(n∈N*，n≥2)

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法和不等式的證明，解題時要熟練掌握數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于難題