Question

某服裝制造商現(xiàn)有300m²的棉布料，900m²的羊毛料，和600m²的絲綢料．做一條大衣需要1m²的棉布料，5m²的羊毛料，1m²的絲綢料．做一條褲子需要1m²的棉布料，2m²的羊毛料，1m²的絲綢料．
（1）在此基礎上生產這兩種服裝，列出滿足生產條件的數(shù)學關系式，并在直角坐標系中畫出相應的平面區(qū)域．
（2）若生產一條大衣的純收益是120元，生產一條褲子的純收益是80元，那么應采用哪種生產安排，該服裝制造商能獲得最大的純收益；最大收益是多少？

Answer 1

分析：（1）設生產大衣x條，褲子y條，則根據條件建立不等式組，利用不等式組表示平面區(qū)域進行作圖．
（2）設收益為z，建立目標函數(shù)z=120x+80y，然后利用線性規(guī)劃進行求最值．

解答：解：（1）生產大衣x條，褲子y條，
則根據條件建立不等式組

x+y≤300 5x+2y≤900 x+y≤600

，作出不等式組對應的平面圖象如圖：
（2）設收益為z，則目標函數(shù)z=120x+80y，
則y=-

120

80

x+

z

80

=-

3

2

x+

z

80

，
平移直線y=-

3

2

x+

z

80

，由圖象可知當直線y=-

3

2

x+

z

80

經過點B時，直線y=-

3

2

x+

z

80

的截距最大，此時z也最大，
由

x+y=300 5x+2y=900

，解得

x=100 y=200

，即B（100，200），
代入目標函數(shù)z=120x+80y得z=120×100+80×200=28000（元）．
即z的最大值為28000元．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用條件建立不等式組關系，利用數(shù)形結合，利用目標函數(shù)的幾何意義是解決此類問題的關鍵．