已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有兩個不同的極值點(diǎn)，，且.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求的最小值，并指出此時(shí)的值.

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?函數(shù)恰有兩個不同的極值點(diǎn)，，即有兩個零點(diǎn)，，則

方程有兩個不同的零點(diǎn)，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，                         

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，所以在時(shí)取得最小值．∴ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，所以 ，                     

于是，所以，，所以．所以 當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，所以在上的最小值為，此時(shí).

試題解析：（Ⅰ）∵ 函數(shù)恰有兩個不同的極值點(diǎn)，，即有兩個零點(diǎn)，

∴ 方程有兩個不同的零點(diǎn)，  

令．

，

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，

∴ 在時(shí)取得最小值．

∴ ．

（Ⅱ）∵，即，

∴

于是，

∴

∵ ，

∴ ．

∴ 當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)

∴ 在上的最小值為，此時(shí).

考點(diǎn)：1.函數(shù)中證明問題；3.函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a（a為常數(shù)）．
（1）如果對任意x∈[1，2]，f（x）＞a2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)p，q，r滿足：p，q，r中的某一個數(shù)恰好等于a，且另兩個恰為方程f（x）=0的兩實(shí)根，判斷①p+q+r，②p2+q2+r2，③p3+q3+r3是否為定值？若是定值請求出：若不是定值，請把不是定值的表示為函數(shù)g（a），并求g（a）的最小值；
（3）對于（2）中的g（a），設(shè)H(a)=-
16
[g(a)-27]，數(shù)列{an}滿足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），試判斷an+1與an的大小，并證明之．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年寧夏高三上學(xué)期第五次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有兩個不同的極值點(diǎn)，，且.

（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求的最小值，并指出此時(shí)的值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年四川省高三9月月考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)和．其中．

（1）若函數(shù)與的圖像的一個公共點(diǎn)恰好在x軸上，求的值；w

（2）若函數(shù)與圖像相交于不同的兩點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試問：△OAB的面積S有沒有最值？如果有，求出最值及所對應(yīng)的的值；如果沒有，請說明理由．

（3）若和是方程的兩根，且滿足，

證明：當(dāng)時(shí)，．

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a（a為常數(shù)）．
（1）如果對任意x∈[1，2]，f（x）＞a2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)p，q，r滿足：p，q，r中的某一個數(shù)恰好等于a，且另兩個恰為方程f（x）=0的兩實(shí)根，判斷①p+q+r，②p2+q2+r2，③p3+q3+r3是否為定值？若是定值請求出：若不是定值，請把不是定值的表示為函數(shù)g（a），并求g（a）的最小值；
（3）對于（2）中的g（a），設(shè)，數(shù)列{an}滿足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），試判斷an+1與an的大小，并證明之．

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