Question

以F₁（0 ，-1），F(xiàn)₂（0 ，1）為焦點(diǎn)的橢圓C過點(diǎn)P（，1）。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)S（，0）的動直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為（a>b>0），
由已知c =1，又2a=，
則a=，b²=a²-c²=1，
橢圓C的方程是+x²=1；
（Ⅱ）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1，
若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是，
由解得
即兩圓相切于點(diǎn)（1，0），
因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（1，0），
事實(shí)上，點(diǎn)T（1，0）就是所求的點(diǎn)，證明如下：
當(dāng)直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（1，0），
若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l：y=k（x+），
由
即，
記點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則
又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120424/20120424162459722946.gif">=（x₁，1，y₁），=（x₂，1，y₂），
=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）+k₂（x₁+）（x₂+）
=（k₂+1）x₁x₂+（_k2-1）（x₁+x₂）+k₂+1
=（k₂+1）+（k₂-1）++1=0，
則TA⊥TB，故以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（1，0），所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點(diǎn)T（1，0）滿足條件。